Chúng ta định nghĩa hạt nhân của h là tập hợp các phần tử trong G được ánh xạ lên phần tử đồng nhất trong H

ker ⁡ ( h ) ≡ { u ∈ G : h ( u ) = e H } . {\displaystyle \operatorname {ker} (h)\equiv \left\{u\in G\colon h(u)=e_{H}\right\}.}

và ảnh của h là

im ⁡ ( h ) ≡ h ( G ) ≡ { h ( u ) : u ∈ G } . {\displaystyle \operatorname {im} (h)\equiv h(G)\equiv \left\{h(u)\colon u\in G\right\}.}

Hạt nhân và ảnh của một phép đồng cấu có thể được hiểu là cách đo lường độ gần giống với một phép đẳng cấu. Định lý đẳng cấu đầu tiên phát biểu rằng ảnh của một đồng cấu nhóm h (G) đồng hình với nhóm thương G/ker h.

Hạt nhân của h là nhóm con chuẩn tắc của G và ảnh của h là nhóm con của H:

h ( g − 1 ∘ u ∘ g ) = h ( g ) − 1 ⋅ h ( u ) ⋅ h ( g ) = h ( g ) − 1 ⋅ e H ⋅ h ( g ) = h ( g ) − 1 ⋅ h ( g ) = e H . {\displaystyle {\begin{aligned}h\left(g^{-1}\circ u\circ g\right)&=h(g)^{-1}\cdot h(u)\cdot h(g)\\&=h(g)^{-1}\cdot e_{H}\cdot h(g)\\&=h(g)^{-1}\cdot h(g)=e_{H}.\end{aligned}}}

Khi và chỉ khi ker(h) = {eG }, thì phép đồng cấu h là một đơn cấu nhóm, tức là, h có tính đơn ánh (một đối một). Đơn ánh trực tiếp cho ta biết chỉ có duy nhất một phần tử trong hạt nhân cung cấp tính đơn ánh:

h ( g 1 ) = h ( g 2 ) ⇔ h ( g 1 ) ⋅ h ( g 2 ) − 1 = e H ⇔ h ( g 1 ∘ g 2 − 1 ) = e H ,   ker ⁡ ( h ) = { e G } ⇒ g 1 ∘ g 2 − 1 = e G ⇔ g 1 = g 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&&h(g_{1})&=h(g_{2})\\\Leftrightarrow &&h(g_{1})\cdot h(g_{2})^{-1}&=e_{H}\\\Leftrightarrow &&h\left(g_{1}\circ g_{2}^{-1}\right)&=e_{H},\ \operatorname {ker} (h)=\{e_{G}\}\\\Rightarrow &&g_{1}\circ g_{2}^{-1}&=e_{G}\\\Leftrightarrow &&g_{1}&=g_{2}\end{aligned}}}